ガウス積分に微分と積分の順序交換を適用する

著名なガウス積分に、微分と積分の順序交換を適用して、計算をしてみる。まずガウス積分そのものは \begin{align*} \int_\infty^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} = \sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{1}{2}} \quad （\alpha \gt 0） \end{align*} であるから、これの両辺を $\alpha$ で微分することによって \begin{align*} &\frac{d}{d\alpha}\int_\infty^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx = \int_\infty^\infty \frac{\partial}{\partial \alpha}e^{-\alpha x^2}\,dx = \int_\infty^\infty -x^2e^{-\alpha x^2}\,dx \;, \\ &\frac{d}{d\alpha}\left(\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{3}{2}} \end{align*} が得られる。したがって \begin{align*} \int_\infty^\infty x^2e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{3}{2}} \;. \end{align*} 同様に繰り返すと、 \begin{align*} &\frac{d}{d\alpha}\int_\infty^\infty x^2e^{-\alpha x^2}\,dx = \int_\infty^\infty \frac{\partial}{\partial \alpha}\left(x^2e^{-\alpha x^2}\right)\,dx = \int_\infty^\infty -x^4e^{-\alpha x^2}\,dx \;, \\ &\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{3}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{5}{2}} \end{align*} であることから \begin{align*} \int_\infty^\infty x^4e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{5}{2}} \;. \end{align*} もう一度繰り返せば \begin{align*} &\frac{d}{d\alpha}\int_\infty^\infty x^4e^{-\alpha x^2}\,dx = \int_\infty^\infty \frac{\partial}{\partial \alpha}\left(x^4e^{-\alpha x^2}\right)\,dx = \int_\infty^\infty -x^6e^{-\alpha x^2}\,dx \;, \\ &\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{5}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{7}{2}} \;, \end{align*} \begin{align*} \therefore\; \int_\infty^\infty x^6e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{7}{2}} \;. \end{align*} 以上より、自然数 $n$ を用いて一般化することができて、 \begin{align*} \int_\infty^\infty x^{2n}e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdots\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{2n+1}{2}} \;. \end{align*}

馴染みの形式に持っていくと、$n=0$ のときはガウス積分そのもので \begin{align*} \int_\infty^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align*} である。$n=1$ のときは \begin{align*} \int_\infty^\infty x^2e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align*} であり、$n=2$ のとき \begin{align*} \int_\infty^\infty x^4e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\alpha^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align*} $n=3$ のとき \begin{align*} \int_\infty^\infty x^6e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\sqrt{\pi}\alpha^{-\frac{7}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{\alpha^3}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align*} などと求められるのである。

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この積分にわたくしが出会ったのは、詳解　物理応用数学演習 の 86 ページの演習問題であった。もちろん各方面各所の教科書にも載っているに違いない。