関数と変数の書法

ここ何回か無味乾燥な計算結果をかいてきたので、今回はちと趣向を変えて関数の書き方についての思うところを。

「関数」とは何か、と大きく出るといろいろやけどをしそうなので、いまここでは、関数のイメージのひとつである \begin{align*} \text{数を入力すると数を返すものが「関数」である} \end{align*} を採用することにしよう。そしてこのように定められた関数それらを、まずは $f,\, g,\, h$ という文字であらわすことにする。そして「数」を $x,\, y$ などであらわすことにする。この表記を採用すると、上に書いた関数のイメージは、図式的に次のように書きあらわすことができるだろう： \begin{align*} x \;\stackrel{f}\longmapsto\; y \quad\text{または}\quad f: x \;\longmapsto\; y \end{align*} $x$ は入力される「数」を代表したものであり、$y$ は関数 $f$ の働きによって返された「数」である。$x$ は一応どんな数であっても良いはずだから、その含みも込めて、「変数」と呼んだりする。

関数と変数の仲の良さを見せつけるときには \begin{align*} y = f(x) \end{align*} と書く。仲の良さをあらわすこの $f(x)$ という書き方は、$x$ が関数の入力となる「変数」であるということを主張していると捉えてもいい。特段に仲の良さを見せつける必要などない場合には、単に $f$ とだけ書けばいいだろう。「関数 $f$ と $g$ を加えると‥‥」といった具合にである。

このイメージをキープしつつ歳を重ねて行けば、どんな文字で関数や変数があらわされていても、動じなくなるはずである。実際に関数については、ギリシア文字 $\psi$ や $\phi$ などが使われるし、変数だって $\omega$ や $\lambda$ などよりどりみどりである。ただそこにも慣習というものがあって、関数を $x$、変数を $f$ として $x(f)$ という形になると、違和感は満載である。

さてここで、関数 $f$ が \begin{align*} u^3x^2 + 2u^2 + x \end{align*} というものだったとすると、はてさてこれは一体何が変数なのであろうか。その解釈は、実際にはその時の立場による。つまり $x$ を変数として捉えたいのであれば $f(x)$。$u$ を変数として捉えたいのであれば $f(u)$。両方とも変数ならば、$f(u, x)$。そう解釈すればいい（お、珍しくそれなりに上出来な説明になっていまいか？）。