導関数の書き方

またもや書き方のこだわりについてである。相手は「導関数」。この言葉からも明らかなように、これは関数なのであるからして、関数への入力となる変数も決まっているだろう。関数が $f$ で変数が $x$、つまり関数が $f(x)$ と丁寧にあらわされるときに、導関数は次のように書かれることが多い： $$\begin{align*} \text{$f(x)$ の導関数} \equiv \frac{df(x)}{dx} \equiv \frac{d}{dx}f(x) \end{align*}$$ 関数がぶっきらぼうに $f$ とだけ書かれていても、導関数は通常 $$\begin{align*} \text{$f$ の導関数} \equiv \frac{df}{dx} \equiv \frac{d}{dx}f \end{align*}$$ のようにも書かれる。ここで見た目から効いてくるものは $dx$ という「微分量」で、これがある意味 $f$ の変数は $x$ であるということを示唆している。ここが $du$ であったら、関数 $f$ の変数は $u$ である、ということが暗黙に諒解される。

蛇足だけれど $$\begin{align*} \frac{d}{dx}f(x),\quad \frac{d}{dx}f \end{align*}$$ という書き方には、ちょっと大人の気分が入っていて、$d/dx$ が独立して存在しているというようなメッセージが込められているように思える。ここから「演算子」というものへの道が見えてくる。

さていま関数 $f$ が $$\begin{align*} f = u^3x^2 + 2u^2 + x \end{align*}$$ であるときを考えてみる。導関数の計算では、変数以外は定数であるとみなされるので、 $$\begin{align*} \frac{df(x)}{dx} = 2u^3x + 1 \;, \quad \frac{df(u)}{du} = 3u^2x^2 + 4u \end{align*}$$ といった結果になる。つまり、導関数は、変数がはっきりしないと確定しないのだ。そしてここからが厄介なところなのだが、文脈からして変数は自明、みたいな状況があって、そのときには、導関数は $f^\prime$ のようにあらわされることがある。もちろん $f^\prime(x)$ もある（数学に限らず、物理とか化学の本を読んでいると、「$f$ とほんのちょっと違うものを $f^\prime$ とする」などという場合もあって、導関数の分別の厄介さに輪がかかる）。

ここで関数の気持ちになってみる。

「変数の記号がなんであれ、私という関数は関数として存在しているのだから、その導関数も存在している」

その主張が込められている書き方が、もしかすると、$f^\prime$ なのかもしれない、という屁理屈が浮かぶ。とはいえ、変数が決まらないと関数の形は書き表せないということもまたひとつの事実。関数と変数の関係は、持ちつ持たれつという感じである。

「文脈に依存する」「文脈を見れば明らかだ」というような方便が世の中にはある。なにを変数としているかは、「文脈を見れば明らか」なので、その変数で微分しているものが $f^\prime$。ま、そういう「文脈」を取り込んだ書き方なんだろうと思えば良いだろう。「文脈」が明らかでない場合には、変数を明示的に示して $$\begin{align*} \frac{df(x)}{dx} \;, \quad f^\prime(x) \end{align*}$$ とするのが安全な処方なのであろう。

こういう事柄に変にこだわるところが、わたくしの切れ味の鈍さなんだろうと思うと、ちょっとへこむけれども、ま、しょうがない。